2018黑龙江省考行测排列组合之同素分堆问题

2018黑龙江省考行测排列组合之同素分堆问题

排列组合问题是行测考试数量关系部分的必考题型，15道题目中一般占1-2道，同素分堆问题是排列组合题型中一重要知识，今天我给大家讲解一下排列组合当中比较重要的一个知识-同素分堆问题。

同素分堆：同素代表相同元素，分堆代表把相应的元素分成不同的堆

核心特征：1、相同元素 2、分成不同的堆(元素要分完) 3、每堆至少分一个

解决方法：隔板法(通过往元素中插板，来达到分成不同堆的目的，插板的过程中要保证每堆至少分一个)

这种模型，题型特征明显，规律比较好用，便于学员掌握和做题，但是学员往往不能够深入的理解隔板模型的内在含义，因此这里主要谈一谈隔板模型的含义以及规律。

例1.把9台型号完全一样的笔记本电脑电脑分给甲、乙、丙三个部门，每个部门至少分到一台，有多少种分法?

根据我们给大家列出的核心特征，发现这道例题符合同素分堆的题目特征，可以用隔板法解决。

① 电脑型号一样(元素完全一样)

② 每个部门至少分一台(至少分一个)

③ 电脑要分完(分完)

那么接下来探究一下隔板法解决同素分堆问题的规律：如果我们直接分电脑的话会有比如1、2、6， 1、3、5， 1、4、4，……有很多分法，一一列举出来显得非常麻烦，而且还容易漏算、出错等，不妨换一个角度来思考这个问题，可以考虑按部门来分，也就是对于现成的9台电脑，随意的插入两块板把他们分成所需要的三份，这样每个部门至少一份就把电脑分完了，比如：○○/○○○/○○○○，那么到这里可能还有很多人不理解，我们继续往下看，首先我们需要弄明白这里面9台电脑共形成10个空，有哪些空是可以插板的，哪些空是不能插板的，比如：○○/○○○○○○○/、/○○/○○○○○○○或者○○//○○○○○○○是否可行

因此总结出来，在用隔板模型的时候一定要弄清楚：

① 有几个空可以插板。(两边不可以插板，只有中间的空才能插板)

② 每个空只能插一个板。

如果弄清楚了这些我们回过头来看上述的那道例题，经过分析我们清楚了9台电脑所形成的空隙只有8个空可以插板，而每个空只能插一块板，因此我们就清楚了需要从8个空中选取两个孔插板，那么问题又来了，是用 还是用 ，前面讲解了排列与组合的区别主要在于顺序有无影响，这里如果插板之后是这样的结果○○/○○○/○○○○再进行排列的话形成这样的效果○○○/○○/○○○○，但是我们插板是随机插的可以直接插出来○○○/○○/○○○○的效果，从而无需进行排列，否则会出现重复计算。因此用 。

通过这道题我们可以总结一下利用隔板法解决同素分堆问题的规律，n个物品可以形成(n-1)个空插板，分成m分只需要插入(m-1)个板即可，最终可以形成对于隔板模型规律为 其中，n为元素的总数，m为所分的部分数。

最后通过一道题来加深一下刚才的探讨：

例2.7个相同的小球放在4个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放一个小球，一共有( )种不同的方法?

对于在问题我们讲了，隔板模型的基本特征，通过分析符合上面所讲的三条，因此可以用隔板模型，而公式是 ，这里n=7，m=4因此有 = =20种。

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