浅析历年国考行测中的小题型：剩余问题

    在古书《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是：有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。我们称这类问题为孙子问题。类似问题在公务员考试行测中也会考到，考生们也要对其进行全面了解。

一、剩余问题的基础解法

【例1】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。

【中公解析】这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢?我们试试看。

满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17，…

在上面的几个数字中再找满足“除以5余3”的数，这个数就是8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易看出，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有

8，23，38，53，68，…

在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23<105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。

在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。

二、剩余问题的特殊情况

(1)余同(余数相同)加余

【例题2】某校二年级全部共3个班的学生排队，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，这个学校二年级有( )名学生。

A.120 B.122 C.121 D.123

【答案】B

【中公解析】由题意可知该校二年级的学生人数除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此该班学生人数满足通项公式N=60n+2 ，(n=0，1，2，3……)，当n=2时，N=122，选择B项。

注：n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数。

(2)和同(除数和余数的和相同)加和

【例题3】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?

A.3 B.2 C.4 D.5

【答案】A

【中公解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8(n=0，1，2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8，218，428三个数。

注：n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。

(3)差同(除数与余数之差相同)减差

【例题4】三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。问：这些台阶总共有多少级?

A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

【答案】A

【中公解析】通过观察我们会发现除数与余数的差均为1，因此台阶数满足：N=60n-1(n=1，2，3……)，可发现A项满足该通项公式。

三、剩余问题的特殊情况

用同余特性解题

【例题5】三位数的自然数P满足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，则符合条件的自然数P有多少个?

A.5 B. 4 C. 6 D. 7

【答案】B

【中公解析】此题不满足我们前面所讲的特殊情况，但是通过观察我们发现，P满足除以3余2，除以7余3两个条件时，在P的基础上加上4，即(P+4)这个数一定是能够被3整除以及被7整除的，因此(P+4)=21n，所以P=21n-4……①，得到的这个通项公式再与除以11余4进行找通项公式。该自然数P=21n-4=11a+4，等式左边都是被11除，等式左边的余数为10n-4，等式右边的余数为4，我们知道一个数被11除余4，也可以认为这个数被11除余15，或被11除余26等。根据同余特性可知，等式左边的余数10n-4应与等式右边的余数4，15，26等数值相等。因为n要取整数，所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59，所求的59这个数是满足题干三个条件的最小数，所以，满足题干三个条件的数P=231n+59(n=1，2，3……)，所以在三位数以内的数有290，521，752，983四个数。选择B项。
 

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